解析学研究室

最も簡単で基本的な2階線型常微分方程式 $(\epsilon^2 d^2/dx^2 - 1) u = 0$（ただし $\epsilon$ は小さなパラメータ）の解は、$u = \exp (\pm x/\epsilon)$ と指数関数を用いて表されます。ところが、係数を関数 $Q(x)$ で置き換えた $(\epsilon^2 d^2/dx^2 - Q(x)) u = 0$ を考えると、微分方程式の解を具体的に書き下すことは急に難しくなります。

この場合でも、WKB解と呼ばれる $u = \exp ((u_0(x)+u_1(x)\epsilon+\cdots)/\epsilon)$ という形の解を構成することは可能ですが、残念ながらこの解は収束しません。このWKB解に、フーリエ・ラプラス解析と密接に関係する「ボレル総和法」という一種の"手品"を用いて数学的な意味づけを行うのが完全WKB解析です。ボレル総和法を用いれば、解の大域的性質を（独立変数を複素数に拡張した上で）調べることが可能になります。

例えば $Q(x)=x^2-1$ の場合にWKB解にボレル総和法を適用すると、（ストークス図形と呼ばれる）図1に現われる複素平面内の各領域毎に異なる解が得られます。こうしたストークス図形の幾何学的性質を援用しながら、WKB解を用いてシュレディンガー方程式の固有値や複素領域における線型常微分方程式の解の大域的性質を研究することが私の第一の研究テーマです。